Absolute waarde

In de wiskunde is de absolute waarde of modulus de waarde van een getal als het teken buiten beschouwing blijft. Dus als het getal positief is: dit getal zelf; als het negatief is, het positieve getal. Noemen we dit getal a, dan schrijven we |a|, waarbij a is omgeven door zogeheten modulusstreepjes. Door deze streepjes wordt a dus ontdaan van + of – tekens:

|3| = 3; |-3| = 3; |√2 – 5| = |-(-√2 + 5)| = 5 - √2 enzovoort. 

De definitie luidt: |a| = a als a ≥ 0 en |a| = - a als a < 0. Of korter: |a| = √a².

Op school kun je er allerlei vraagstukken over tegenkomen, vaak in combinatie met vergelijkingen en ongelijkheden. Een voorbeeld. Los op:

|x| = |2x – 1|.

1ste oplossing. Door te kwadrateren verdwijnen de modulusstreepjes: (|a|) = (√a²)²:

x² = 4x² - 4x + 1; 3x² - 4x + 1 = 0; (x – 1)(3x – 1) = 0; x1 = 1; x2 = 1/3.

Vullen we de oplossingen in de oorspronkelijke vergelijking in om na te gaan of ze voldoen:

1 = 2 – 1; 1/3 = |- 1/3| = 1/3, in orde.

2de oplossing:

|x| = |2x – 1|.

Stel x = a en 2x – 1 = b, dan krijgen we

|a| = |b|; a²= b²; a² – b² = (a - b)(a + b) = 0; x – 2x + 1 = 0 met x = 1 en 3x = 1 met x = 1/3.

3de oplossing:

|x| = x als x ≥ 0, x = - x als x < 0.
|2x – 1| = 2x – 1 als 2x – 1 ≥ 0, dus als x ≥ ½ en |2x – 1| = - 2x + 1 als 2x – 1 < 0, dus als x < ½.

Er zijn dus drie aansluitende gebieden, die onderzocht moeten worden: x < 0, 0 ≤ x < ½ en x ≥ ½.

x < 0. Dan is |x| = - x en |2x – 1|  - 2x + 1, dus - x = - 2x + 1 met x = 1.

Maar deze voldoet niet aan x < 0.

0 ≤ x < ½. Hier is |x| x en |2x – 1|  - 2x + 1, of x = - 2x + 1 met x = 1/3. Deze voldoet.

x ≥ ½. Nu is |x| = x en |2x – 1| =  2x – 1, zodat x = 2x – 1, - x = - 1, x = 1. We vinden weer x1 = 1 en x2 = 1/3. 

Nog een voorbeeld. Los x op uit:

 |½x² - 2x – 6| < ½x + 6

Oplossing:

|x² - 4x – 12| < x + 12
(x² - 4x – 12)² < (x + 12)²
(x² - 4x – 12)² -  (x + 12)² < 0
(x² - 4x – 12 + x + 12)( x² - 4x – 12 – x – 12) < 0
(x² - 3x)( x² - 5x – 24) < 0
x(x – 3)(x – 8)(x + 3) < 0

Bepaal de nulpunten door elke factor gelijk aan 0 te stellen, zet die in de juiste volgorde uit op een getallenlijn en bepaal de waarde van het product voor één interval. De waarde verandert steeds bij het passeren van een nulpunt:

     pos.  -3    neg.    0    pos.    3     neg.     8      pos.
------------|------------|------------|--------------|--------------- 

Het product is dus negatief tussen -3 en 0 en tussen 3 en 8. Oftewel – 3 < x < 0 en 3 < x < 8.

Nog een voorbeeld. Los x op uit:

|x + 1| + |x – 2| > |x + 3|.

Oplossing:

|x + 1| = x + 1 als x ≥ - 1; 
|x – 2| = x – 2 als x ≥ 2;
|x + 3| = x + 3 als x ≥ - 3.

|x + 1| = - x - 1 als x < - 1; 
|x – 2| =  - x + 2 als x < 2;
|x + 3| = - x - 3 als x < - 3.

We onderscheiden dus de gebieden x < - 3, - 3 ≤ x < - 1, -1 ≤ x < 2 en x ≥ 2. Als x < -3:

- x – 1 – x + 2 > - x – 3, x < 4. Samen met de eis dus x < -3.

Als -3 ≤ x < - 1:

-x – 1 – x + 2 > x + 3; x < - 2/3  Samen met de eis dus  -3 ≤ x < -1.

Als -1 ≤ x < 2:

x + 1 – x + 2 > x + 3 met x < 0. Samen met de eis: - 1 ≤ x < 0.

Als x ≥ 2:

x + 1 + x – 2 > x + 3, x > 4. Gezien de eis blijft dat zo. 

De vier antwoorden tezamen:

x < 0 en x > 4.