Wortel (wiskunde)

Een wortel is een getal. Het is een getal dat te maken heeft met de oppervlakte van een vierkant en de zijde van dat vierkant. Als je weet wat de oppervlakte is van een vierkant, dan is de wortel de lengte van de zijde van dat vierkant. Als de oppervlakte van een vierkant, bijvoorbeeld vijfentwintig is, dan is één zijde van dat vierkant vijf. Je zegt dan dat de wortel van vijfentwintig vijf is.
De wortel van vijfentwintig is vijf. Als je de tafel van vijf goed kent dan weet je dat vijf keer vijf vijfentwintig is. Vijf keer vijf noem je ook wel het kwadraat van vijf. In rekentaal ziet de wortel van vijfentwintig er zo uit:

√25

De wortel van	is het getal	want
√4	2	2 x 2 = 4
√9	3	3 x 3 = 9
√16	4	4 x 4 = 16
√25	5	5 x 5 = 25
√36	6	6 x 6 = 36
√49	7	7 x 7 = 49
√64	8	8 x 8 = 64
√81	9	9 x 9 = 81
√100	10	10 x 10 = 100
√121	11	11 x11 = 121
√144	12	12 x 12 = 144
√169	13	13 x 13 = 169
√196	14	14 x 14 = 196
√225	15	15 x 15 = 225

Wortel uitrekenen

Wat is de wortel van 337?

Om dat te weten te komen kun je kijken welke twee getallen met elkaar vermenigvuldigt 337 geven. We proberen wat uit:

We beginnen met een vermenigvuldiging die niet zo moeilijk is: 20 x 20. Dat geeft als antwoord: 400.

De wortel van 337 is kleiner dan 20. Want 20 is de wortel van 400 (20 x 20 = 400)

Laten we nog een vermenigvuldiging doen die niet zo moeilijk is: 15 x 15. Dat geeft als antwoord: 225

De wortel van 337 is groter dan 15. Want 15 is de wortel van 225 (15 x 15 = 225)

We gaan eens kijken of de wortel misschien 18 is. Als je 18 x 18 uitrekent dan krijg je als antwoord: 324.

De wortel van 337 is groter dan 18. Want 18 is de wortel van 324 (18 x 18 = 324) en dat is minder dan 337

Nog een getal hoger proberen: 19 x 19. Daarvan is de uitkomst 361

De wortel van 337 is kleiner dan 19. Want 19 is de wortel van 361 (19 x 19 = 361)

De wortel van 337 ligt dus ergens tussen 18 en 19. Laten we eens proberen of de wortel van 337 misschien 18,5 is. (18,5 x 18,5 = 342,25). Dat is nog steeds hoger dan 337.

De wortel ligt dus ergens tussen 18,0 en 18,5

Doen we nog een vermenigvuldiging: 18,3 x 18,3. Daarvan is de uitkomst: 334,89. Dat is dus te laag.

De wortel ligt dus ergens tussen 18,3 en 18,5

Doen we nog een vermenigvuldiging: 18,4 x 18,4. Daarvan is de uitkomst: 338,56. Dat is dus te hoog.

De wortel ligt dus ergens tussen 18,3 en 18,4

Doen we nog een vermenigvuldiging: 18,35 x 18,35. Daarvan is de uitkomst: 336,7225. Dat is bijna 337.

De wortel ligt dus in de buurt van de 18,35. 

Laten we voor de zekerheid nog eens 18,36 x 18,36 doen. Daarvan is de uitkomst: 337,0896. Dat is net iets meer dan 337.

De wortel ligt dus tussen 18,35 en 18,36

De laatste vermenigvuldiging die we doen is: 18,358 x 18,358. Daarvan is de uitkomst: 337,016164. Die uitkomst is afgerond bijna gelijk aan 337.

De wortel van 337 is dus ongeveer 18,358. In rekentaal:

√337

≈ 18,358

Staartworteltrekking

Behalve bovenstaande methode kun je het antwoord ook vinden met behulp van de zogeheten staartworteltrekking. Een soort staartdeling maar dan voor wortels. Je begint met op te schrijven:

         √3|37 = 1
          1 
          - 
          2 37
2_ x _ =             

Het getal 'onder de wortel', 337, verdeel je vanaf rechts in vakjes van twee. Dan hebben we één vakje van twee en houden dus één vakje met één cijfer over, 3. Nu gaan we kijken wat het grootste kwadraat onder 3 is. 2 is te groot, want 2 kwadraat is 4. Dus is het 1 (want 1 is 1 kwadraat). Die schrijven we rechts van het = teken als begin van het antwoord waaraan we gaan bouwen. We trekken 1 van 3 af en houden 2 over. We halen twee cijfers (het eerste vakje van twee dus) van boven bij, voegen die achter de zojuist gevonden 2 en krijgen het getal 237.

Nu komt de grote truc, waar de methode om draait: we verdubbelen de gevonden 1 achter het = teken (wordt dus 2) en maken daar een vermenigvuldiging van: 2 _ x _. Vervolgens gaan we kijken wat het grootste getal is dat we met die vermenigvuldiging kunnen maken dat kleiner is dan 237 door op de plaats van de streepjes hetzelfde cijfer te zetten. Dat is 224, want 28 x 8 = 224, dus op de plaats van de streepjes komt 8. Die 8 schrijven we ook rechtsboven achter de eerder gevonden 1 en we trekken 224 van 237 af.

         √3 37 = 18
          1 
          - 
          2 37
28 x 8 =  2 24 
          ----
            13  

Het verschil is 13. Maar daarmee komt de som nog niet uit, dus krijgen we een tiendelige breuk als antwoord. We halen nu twee nullen van boven bij (want 337 is eigenlijk 337,00000 enz.) en vinden 1300. Dan herhalen we de vorige procedure door 18 te verdubbelen tot 36 en weer een vermenigvuldiging te maken waarvan het resultaat zo groot mogelijk is, maar kleiner dan 1300.

         √3 37,00 = 18
          1 
          - 
          2 37
28 x 8 =  2 24 
          ----
            13 00
36_ x _ = 

Welk cijfer moet op de plaats van de streepjes komen? We zien al gauw dat dat een 3 moet zijn, dus

         √3 37,00 00 = 18,3
          1 
          - 
          2 37
28 x 8 =  2 24 
          ----
            13 00
363 x 3 =   10 89
            -----
             2 11 00 
366_ x _ =    

en vinden 1089. Rechts boven, nu achter de komma, de gevonden 3 toevoegen, en 1089 van 1300 aftrekken. Het verschil, 211, verrijken we weer met twee nullen en we verdubbelen 183 (de komma laten we even weg) tot 366 en maken met dit getal weer een nieuwe vermenigvuldiging.

         √3 37,00 00 00 = 18,35
          1 
          - 
          2 37
28 x 8 =  2 24 
          ----
            13 00
363 x 3 =   10 89
            -----
             2 11 00 
3665 x 5 =   1 83 25
             -------  
               27 75 00
3670_ x _ =

Op de plaats van de streepjes komt een 5, en we vinden 18325. 5 rechtsboven toevoegen, 18325 aftrekken, twee nullen toevoegen aan het verschil, 1835 verdubbelen tot 3670 en een nieuwe vermenigvuldiging maken. Op de plaats van de streepjes komt een 7.

         √3 37,00 00 00 = 18,357
          1 
          - 
          2 37
28 x 8 =  2 24 
          ----
            13 00
363 x 3 =   10 89
            -----
             2 11 00 
3665 x 5 =   1 83 25
             -------  
               27 75 00
36707 x 7 =    25 69 49
               --------
                2 05 51
36714_ x _ =

We doen nogmaals hetzelfde. 7 rechtsboven toevoegen, 256949 aftrekken, twee nullen toevoegen aan het verschil, 18357 verdubbelen tot 36714 en een nieuwe vermenigvuldiging maken. Op de plaats van de streepjes komt een 5.

         √3 37,00 00 00 00 00 = 18,3575
          1 
          - 
          2 37
28 x 8 =  2 24 
          ----
            13 00
363 x 3 =   10 89
            -----
             2 11 00 
3665 x 5 =   1 83 25
             -------  
               27 75 00
36707 x 7 =    25 69 49
               --------
                2 05 51 00
367145 x 5 =    1 83 57 25
                ----------
                  21 93 75 00

Zo kunnen we nog een tijdje doorgaan, maar we laten het hierbij en ronden 18,3575 af tot 18,358, hetzelfde antwoord dus als bij de eerste berekening.